プロバイダ契約とインターネットの接続でプロバイダのサイトに行くことはまったくに別問題です。もしかして無線LANはプロバイダの出張サポートをお願いしませんでしたか?そのときサポート員は接続時に開くサイトの事を聞きませんでしたか?
ホームページと言う言葉がありますが、これはこのブラウザ起動時に開くサイトの事を本来ホームページと呼ぶのが正しく、あなたの場合、ホームページがプロバイダのものになっているというだけの話で、無線LAN（有線でも同じですが）が起動時に有効になった時点で、インターネットには接続しています。ゆえにファイアウォールのログにはそこいらの状況が記録されているのでしょう。
ルーターがあるということは、接続の一切合切をルーターに肩代わりしてもらっているということで、ルーターは常時接続状態にあるのです。問題としては逆ですね。
また、暗証番号とお書きになっていますが、これはおそらくセキュリティキーの事と判断します。これはあなたの無線LANが他の人間に悪用されたり、無線LANを傍受され、その通信内容が外部に漏洩しないための保護策であって、これも接続とは無関係です。
ルーターを使わない接続の場合、例えばフレッツ接続ツールのように、いちいちIDとパスワードを送出しなければ接続はできません。これならば、接続をしていないという状況が作れますが、ルーターの便利さを知ってしまったら、元には戻れないでしょ。
もし、ルーターを設置しているにもかかわらず、上記の状態になっているとしたら、かなり<<ヘン>>な状況です。設定がかなりおかしいと言わざるを得ません。
===補足===
無線LANの接続を有効にする。これは判ります。例えば内蔵機種の場合等スイッチを入れて初めてネットワークに接続するようになるから、これはこれで当然ですね。
次のアクション、IDとパスワードを入力するというのはどういうことでしょうか？もしかしてルーターはあっても機能がオフにされていて、XPの擬似ダイヤルアップでインターネットに接続しているということですか？正直信じられません。
あなたはウイルスやスパイウェアに関してかなりの誤解を持っていらっしゃるようです。まず、ある特殊なワームを除いて、インターネットに接続しているからといってウイルスが入ってくる事は、まず無いと申し上げていいでしょう（除くブラスターワーム）
ましてやスパイウェアを呼び寄せるのは自分自身です。迷い道から寄ってしまったサイトに仕組まれていて、サイト情報とともにPCに落とし込まれます。やがて、活動を開始したマルウェアはあなたのPCの情報を特定サイトに送信し続けます。つまりは悪いサイトに行ってしまった利用者が読み込んでしまったものであって、あちらから勝手に送りつけてくることは無いのです。最近はマルウェア同様にサイト感染型ウイルスもあるらしいので、注意は必要ですけどね。
スパイウェアはSpybotで退治しましょう。
http://www.safer-networking.org/jp/home/index.html
また、そんなに心配だったら、Windowsをやめて、MacかLinuxに移行すれば、心配はかなり減りますよ。
この回答の満足度
とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
ブラウザを開けるよにするには、１,ワイヤレスネットワークの接続を有効にする→2.ユーザー名とパスワードを入力→3,ブラウザが使えるようになる、という手順を我が家では踏んでいます。今までは２の手順を踏まなければパソコンがインターネットにつながることはないと考えていたのですが、実際には１でつながってしまっているということでしょうか？だとすれば１の時点でウイルスやスパイウェアに出会ってしまう危険もあるということですか？
あれ？皆さんは違うのですか？うちはインターネットにつなぐ時は、スタート→接続（Ｔ）→プロバイダ（ＷＡＮミニポートＰＰＰＯＥ）→ユーザー名とパスワード入力→プロバイダに接続、という流れです。あとルーターはいつも電源いれてます。ルーターとモデムが直結しているのでルーター電源がはいらないとインターネットにつなげないようにしてあります。
