モデムのリンクがプチプチ切れてインターネットの接続状態が悪かったので、プロバイダに相談すると新しいモデムを送ってきました...|質問・相談が会員登録不要のQ&AサイトSooda!(ソーダ)

タスクバーでは無くタスクトレイだと思うのですが、ネットワークアイコンをダブルクリックで開けば何かがわかります。
×で無効の場合は、ネットワーク（とダイヤルアップ）接続のフォルダが出るでしょうから、大きなアイコンで表示させるなどで、どれかがわかると思いますので、不要なアイコンで削除可能であれば削除して差し支え無いと思います。

その他、respondentさんがお答えになっているのがネットワーク接続表示の基本ですが、接続が無線LANとかの場合、もしかしたら無線LANの方が接続用ドライバの関係で標準と少し違っている場合があるかもしれません。
接続状態のアイコンとネットワークアイコンが2つ出たりすると煩わしいので、ネットワークのアイコンを出していないとかでしたら、接続状態のアイコンのみが代表して出ているのではないでしょうか。
有線が赤い×になります。

接続が有線の場合でそういう状況というのであれば、無線LANがつながっていなくて赤い×で、有線接続の表示が隠れているのではないでしょうか？

無線、有線のいずれかは、タスクトレイに出ているネットワークアイコンの所にカーソルを持っていくなどでわかります。
また、赤い×とかのネットワークアイコンを右クリックしてなどでネットワークの設定を表示させて、さらにそのアイコンを右クリックでプロパティの設定により、状態を常にタスクバーに表示させるようにすることも出来ます。

回答者：接続アイコン (質問から2時間後)
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