帰省の際にノートＰＣを実家に持って帰って使用予定で、普段はネット接続の為にウィルコムの通信カードを使用しています。今回、...|質問・相談が会員登録不要のQ&AサイトSooda!(ソーダ)

お書きになっていることから類推して端的にお書きします。

1と2 ウィルコムの通信カードの接続はダイヤルアップになっているはずで、それが一つの接続の条件とすると、ウィルコムの通信カードに関連した接続ソフト（有線LANや無線LANを含むスイッチャ）があれば、それを使用します。
お使いのパソコンが具体的に何かにもよりますが、メーカ製ですとその接続ソフトが用意されている場合があります。

3 「プロバイダーの切り替え」が「接続先変更」であるとすれば、上記で対応出来るはずです。

4 たとえば、Firefox系のThunderbird（無償）を用いると、複数のメールサーバへの接続を設定することが出来ます。
（たとえばOutlook Expressの場合も複数は可能ですが、受信がメールサーバごとにならずごちゃぐちゃになったはずです）
いずれにしても、マルチメールアカウント対応のソフトを用いれば可能です。

このとき、元のお母さまのパソコンで後々に取り直す必要があると思いますので、修理の間とかで質問者さんのパソコンのメールソフト（アカウント）の設定をとりあえず「メールをサーバに残す」というところにチェックを入れれば、両方で見れて良いと思います。
もちろん、お母さまのパソコンにも設定しておかないと、お母さまのOutlookで読んだ時に消えます。
あと念のため、慣れていないとうっかり誤って「メールをサーバに残す」の設定を入れる前にメール受信を行って取り込んで消してしまうことがありますので、条件を設定していく中で、うかつなタイミングでパスワードを入力しない様に注意が必要です。

回答者：補足 (質問から4時間後)
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