中学2年です。多角形の角の問題で困ってしまいました。一つの内角のが160度の正多角形では、1つの頂点から引ける対角線は何...|質問・相談が会員登録不要のQ&AサイトSooda!(ソーダ)

正ｎ角形において対角線を引くと、必ず内心を通り、三角形がｎ個出来る。（証明省略。明らか）
三角形の内角の和は１８０°。ところが、中心角は件の三角形をｎ個全て集めると、円をｎ等分した時の中心角と等しいから３６０°

したがって、三角形の和から中心角の和＝３６０°＝（１８０×２）°を引いたものが正ｎ角形の内角の和。
ゆえに、正ｎ角形の内角の和は１８０°×ｎ－（１８０×２）°＝１８０°×（ｎ－２）　・・・(1)
今、１つの内角の大きさが１６０°ということがわかっているから、
｛１８０°×（ｎ－２）｝／ｎ＝１６０°　方程式（２次方程式に見えるが、両辺にｎをかけると実は１次方程式）を解いて、　ｎ＝１８

一方、正ｎ角形に引くことが出来る対角線の数を考える。既に回答にあるが、ある点から引くことの出来る対角線の数は、自分と両隣に引くことが出来ないから、（ｎ－３）

ｎに１８を代入して計算すると、１８－３＝１５　・・・（答）

回答者：みっふぃ (質問から1日後)
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