祖父はまだ生きているんでしょ？
地元の市役所の人のアドバイスは間違っています。
死んだ父の子供が質問者さん一人で祖父の子供が亡くなっている父と伯父の二人なら
質問者さんと伯父は同額の相続権が発生します。
代襲相続と言うのは父もしくは母に相続が発生した時に既に亡くなっている状態で
子供がいればその子供に相続権が移動する仕組みです。
一般的な話になれば子供が数人いると親に発生した相続を子供が分け合う事になり
伯父（叔父）、伯母（叔母）より少なくなるので勘違いしていると思います。
私事になりますが私が代襲相続で税務署に準確定申告に行った時
法定相続で行った事を告げると税務署の人が税金の還付をその割合で計算していましたから
間違いありません。
つまり祖父の財産が100とすると
亡くなっている父：50、伯父：50の相続が発生し
父は亡くなっているので子供一人の代襲相続なら
子供：50、伯父：50
子供2人の代襲相続なら
子供：25、子供：25、伯父：50
だから法律上は質問者さんが考えていた通りの事になるので
その点は心配しなくて大丈夫です。
相続は相続税に直結する事なので市役所より税務署の人が詳しい。
しかし法律上は法定相続で分与の割合が決まっていますが
守る必要が無いのが相続なんです。
重要なのは相続人の間で話が纏まっている事。
そうなっていないと金融機関に預けられているお金は手元に入りません。
口座名義人が亡くなった事を金融機関が知れば口座を凍結し入出金出来なくなります。
（郵便局は凍結するかどうか相続人が決められた。私は凍結する方を選んだけどね）
金融機関のルール上では相続の話し合いが纏まった事を証明しない限り
口座名義人死亡による口座解約の手続きを受け付けません。
伯父が相続に納得出来ずに金融機関の書類に署名、捺印（実印）しなければ
金融機関は書類を受け付けませんから注意して下さい。
母を養子に・・・って、それやってしまうと普通の温厚な人でも怒ると思う。
だって本来は1/2の権利があるのに法律上の話で1/3に減らそうとされる訳でしょ？
例えば父が早くに亡くなり実質的に母が祖父の面倒を見ていて負担が大きく
その段階で養子にしていればあまり問題は無いと思いますが
相続を考える段階でそう言う事を行えば伯父も納得しないと思う。
それと相続税の問題で相続人二人の基礎控除枠内（4200万円）の話なら
相続人が養子になった母を入れて三人になっても相続税の申告は必要無いので構いませんが
被相続人の財産が4200万円を超えていた場合は
養子を利用して意図的な相続税の減少を行う行為にみられる可能性がありますから
税務署に確認を取る必要がある。
養子が認められないと言う訳ではなく
税金上は相続人を二人にして計算する必要があります。
（相続税基礎控除額＝3,000万円＋600万円×法定相続人の数）
問題点は他にもある。
それは現金ではなく不動産の様に現金ではない資産。
祖父所有の家だと質問者さんと伯父さんで半分ずつに分けるなんて事出来ないでしょ？
家の資産が1000万円だとすると法定相続で行えば
質問者さんの家にするには500万円を伯父さんに渡さなきゃあいけないんです。
祖父が現金で500万円以上残していたらそれで支払えますが
無ければ家を売却し500万円ずつで分け合う必要がある。
祖父が現在生きているのなら養子云々ではなく
公証役場か司法書士もしくは弁護士を利用して遺言書を作成し
公正証書にしておいた方が良い。（その段階で母の養子の件も相談してみれば？）
http://www.koshonin.gr.jp/a2.html
http://www.koshonin.gr.jp/yu.html
最優先されるのが祖父の考えなのでそれを言葉ではなく書類として残す事が重要。
相続人が金融機関へ届け出る際も
相続人、被相続人の戸籍の他、遺言書の提出が求められる。
遺言書が無くても調べた上で遺言書が存在しないと言わなければいけないので
公正証書になっている遺言書だけは公証役場に行って調べる必要があるし
公正証書になっている遺言書があればそれに従った相続が可能になりやすい。
個人的には相続を考え始めた段階での養子と言うのはお勧め出来ません。
それと葬儀代も受け取る相続金から切り離して考えて
相続する財産から支払って残った金額を伯父と質問者さんで分け合うと言う考えが無難。
葬儀代は喪主に支払い義務があり、その代わり香典を受け取る権利がある。
喪主が支払った葬儀代をどの様なお金から支払うかは
関係者（相続人）で自由に決められるので
祖父が遺言で葬儀代として200万円を自分の財産から支払う事にしていれば
仮に質問者さんか母が喪主を行っても金銭的苦労はしなくて済む。
自宅が祖父の家ならはっきりと遺言書で質問者さんに相続させる事にしていれば
伯父も質問者さんに立ち退き要求する事はまず無理だと思います。
自宅が祖父のものなら法定相続で行うと裁判にも発展しやすいから注意した方が良い。
===補足===
家電は生活必需品であれば資産に入れる必要は無いと思います。
問題は美術品
購入時に高価で実質的に価値のある物だと資産に含める必要がある。
簡単に言えば「鑑定書付き」みたいな美術品は要注意
鑑定書も無く本物か偽物か不明なら資産に入れなくても殆ど問題無し。
東テレに開運なんでも鑑定団って番組あるでしょ？
あんなのに下手に鑑定出して高値が付いちゃうと後が大変って事。
自分が気に入っているのなら税金上は偽物の方が都合が良い。
私の家にも本物か偽物か判らない掛け軸はいくつかありますね。
相続人が順番で気に入っている物を所有物に選んだのですが
私は鑑定するつもりも無し。
家は複雑なんですよ。
底地の様に契約書を交わし借りている状態で家を建てたのなら
問題無いのですが
相続で別れてしまうと揉める事が多いんじゃないのかな？
家は古くなれば資産価値が減るのですが
土地は資産として残るので土地を確保する事が重要になると思います。
要は土地を確保して家に住んでいれば
簡単に「出て行きなさい」とは言えなくなると思う。
ぶっちゃけた話をすれば
伯父が「俺の家に住んでいるんだから家賃支払え」と言っても
質問者さんは「私の土地に家を建てているんだから地代を支払え」
と言えるって事。
相殺すれば0円に出来るし家に住んでいる方が権利的に強くなる。
（不動産関係には時効取得なんて都合の良いのもありますよ）
解体するとしても家が伯父の物であれば伯父の許可が必要になりますが
伯父が解体費用を負担する必要がある。
でもそれを押し付けちゃうと争いになるから
質問者さんが解体費用を負担すれば伯父も納得するんじゃないのかな？
だから建物は税金上は資産として計算しないといけませんが
建物の価値は0円で考えて取得も可能だと思って良いと思います。
相続税上の不動産価値は固定資産税評価額の1.1倍位だと言っていました。
ただし立地条件が良ければもっと高くなるケースもあるそうです。
