質問

調和級数といいます。
私の高校のときの数Ⅲの教科書には「発散」することが知られているとしか書いてありません。
なんといいかげんな。
大学１年生になると、コーシー数列であるかどうかで収束判定します。

以下は別の方法（大雑把な書き方ですが）

分母が2,4,8,16,32,64,・・・（2の1乗、２乗、３乗、・・・）の所に注目する
以下のように区切って改行してみる。

1/1+1/2

+1/3+1/4（２個）

+1/5+1/6+1/7+1/8（４個）

+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16（８個）

+1/17+・・・＋1/32（１６個）

＋1/（（2のｍ-1乗）+1）＋・・・＋1/（2のｍ乗）（２のｍ-1乗）個

＋・・・＋1/ｎ＋・・・


各行は右端の分数が最も小さいので、その行の和はその行の分数をすべて右端の分数で置き換えた和よ大きい。ところが各行の和はすべて1/2より大きくなることがわかる。

２行目+1/3+1/4　　　　　　　　＞＋1/4+1/4　　　　　＝2/4　　＝1/2
３行目+1/5+1/6+1/7+1/8　　　＞+1/8+1/8+1/8+1/8　＝4/8　　＝1/2
４行目+1/9+1/10+・・・+1/16　＞+1/16＋・・・＋1/16＝8/16　＝1/2

以上から
1+1/2+1/3＋・・・＋1/ｎ＋・・・＞1+1/2＋1/2＋1/2＋・・・

右辺は∞に発散するので、当然左辺も∞に発散する。
でもとってもゆっくり発散するようです。1/ｎ自体は0に収束するからですかね。
収束しそうなという気にもなります。
この級数の分母をすべてｐ乗とかくと。ｐ＜＝１のとき発散。ｐ＞１のとき収束します。
この例はＰ＝１のとき。

• 回答者：思いでの彼方に (質問から21時間後)
• 1

まず、ｙ＝１／ｘのグラフを書いてみます。任意の正の整数の値（kとします)から１だけｘをたしたときのｘ軸との面積を考えます。・・・(1)
kから１をとった長さ（＝1)を横、ｋから縦にのばしていってｙ＝1/xとぶつかるときの長さ（＝1/k）を縦にとった長方形を考えます。面積は1/kとなります。・・・(2)
もうひとつｙ＝１／ｘのグラフで(k-1)から1だけｘを足したときのｘ軸との面積を考えます。・・・(3)
グラフに図示するとわかりますが、面積の大きさは(1)＜(2)＜(3)となります。
問題となるのは(1)と(3)の面積ですが、それぞれ

(1)・・・∫(1/x)dx (xはｋからｋ＋１まで)
(3)・・・∫(1/x)dx (ｘはk-1からｋまで)
すなわち、∫(1/x)dx (xはｋからｋ＋１まで)＜ 1/k ＜∫(1/x)dx (ｘはk-1からｋまで)
と表現できます。

これを拡張して、１からｎまで同様にして考えていくとΣを使って、
∫(1/x)dx (xは1からn＋１まで) ＜ Σ1/k (kは１からｎまで)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＜=１＋∫(1/x)dx (ｘは1からnまで)
となります(右辺の「＝」はｎが１の時)。
Σ1/kの左辺と右辺を計算すると、
∫(1/x)dx (xは1からn＋１まで) ＝ log(n+1)
１＋∫(1/x)dx (ｘは1からnまで) ＝１＋logｎ
したがって、log(n+1)＜Σ1/k (kは１からｎまで) ＜1+logn
ｎ→∞のときlog(n+1)→∞なのでΣ1/k (kは１からｎまで) →∞となります。
したがって、ご質問にあった、1/1＋1/2＋1/3＋・・・＋1/nはΣ1/k (kは１からｎまで) と表現されるので、1/1＋1/2＋1/3＋・・・＋1/nは∞に発散します。（証明終了)

はさみうちの定理（？）を使ったつもりですが、果たして論理が粗いでしょうか。

• 回答者：みっふぃ (質問から6時間後)
• 2

違います。
1+1/2+1/3+・・・
＝1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+…+1/16)+…
＞1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+…+1/16)+…
＝1+1/2+2/4+4/8+8/16+…
＝1+1/2+1/2+1/2+1/2+…
＝∞
よって収束しません。

• 回答者：匿名希望 (質問から2時間後)
• 3

１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ＋・・・ 　（ｎ→∞）

よりも、値が小さい無限級数が、

１＋１／２＋（１／４＋１／４）＋（１／８＋・・・＋１／８）＋（１／１６＋・・・１／１６）＋・・・
　＝１＋１／２＋１／２＋１／２＋１／２＋・・・　→ ∞

となるから、ここで、≧ の 左辺と右辺の括弧の中の項数は同じで、項数は２、４、８、１６、３２、・・・２のべき乗で増加する。

（１／３＋１／４） ≧ （１／４＋１／４） ＝ １／２
（１／５＋・・・＋１／８）　≧ （１／８＋・・・＋１／８）＝ １／２
（１／９＋・・・１／１６）　≧ （１／１６＋・・・１／１６）＝ １／２
（１／１７＋・・・１／３２）　≧ （１／３２＋・・・１／３２）＝ １／２

　　　　　　・・・・

こんな感じで分かるかな？

• 回答者：シティー (質問から48分後)
• 1

１/１+１/２+１/４+・・・・のように半分の半分と続いて行けば２を超えることはないのですが、設問だと無限大ですね！

• 回答者：ＫＩＮＫＩＮ (質問から43分後)
• 0